O pensamento lógico teve sua origem na Civilização Grega, sendo Aristóteles seu fundador. Ele estabeleceu uma série de normas para que conclusões pudessem ser consideradas logicamente válidas.

Aristóteles classificou as proposições em quatro grupos, dois qualitativos e dois quantitativos. As proposições quantitativas são afirmativas e negativas e, as qualitativas são universais e particulares.



Proposições

As proposições são elementos que expressam uma idéia, elas são em geral representadas pelas letras: p, q, r, s...

Verdade e Falsidade são os valores lógicos de uma proposição.
Na lógica existem dois princípios fundamentais.
Primeiro principio: Princípio da Não Contradição; uma proposição não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo.
Segundo principio: princípio do terceiro excluído; toda proposição ou é falsa ou é verdadeira, não existe uma terceira opção.
Exemplos de proposições:
p: Pedro é pedreiro.
q: Se fizer sol, então irei à praia.
r: 3+2=7
s: todos os homens são mortais.

Modificadores

O modificador “não”, que é representado pelos símbolos (~) e (¬), irá alterar o valor lógico da  proposição.

Exemplos:
p: Paulo é pintor.
~p: Paulo não é pintor.

Observação: negar uma negação é o mesmo que afirmar.

~p: João não é inteligente.
~(~p) = p: Não é verdade que João não é inteligente.

Outra forma de negar uma proposição é a seguinte:

Dada uma  proposição:
p: Roberto é Brasileiro.
Sua negação é:
~p: Roberto não é brasileiro.
Ou; ~p: Não é verdade que Roberto é brasileiro.

Quando uma proposição é verdadeira, sua negação e falsa e vice-versa.
 
Vamos resumir isso com uma tabela, denominada tabela verdade.

p	~p
V	F
F	V

Conectivos

Os conectivos são utilizados para unir as proposições.

Conectivo da conjunção: “e”, representado pelo símbolo (^).
Toda vez que as proposições estiverem unidas pela conjunção “e”, a frase só será verdadeira se todas as proposições também forem.

Primeiro exemplo:
p: Dois é par. (verdade)
q: sete é primo. (verdade)
p^q: Dois é par “e” sete é primo. (verdade)

Segundo exemplo:
p: 3>5. (falso)
q: 8+2 = 10. (verdade)
p^q: 3>5 “e” 8+2 = 10. (falso)

Resumo: dado duas proposições p e q, unidas pela conjunção (e), p^q só será verdade quando as duas proposições forem verdadeiras.



Para facilitar vamos analisar a tabela verdade abaixo:

p	q	p^q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Conectivo da disjunção: “ou” representado pelo símbolo (V).
Toda vez que as proposições estiverem unidas pela disjunção “ou”, a frase será verdadeira quando pelo menos uma das proposições também for.

Primeiro exemplo:
p: 2 é par. (verdade)
q: 3 é ímpar. (verdade)
pvq: 2 é par “ou” 3 é ímpar. (verdade)

Segundo exemplo:
p: 5 é primo. (verdade)
q: 9 é par. (falso)
pvq: 5 é primo “ou” 9 é par. (verdade)

Terceiro exemplo:
p: Lula é o presidente do Chile. (falso)
q: 4 é divisível por 3. (falso)
pvq: Lula é o presidente do Chile “ou” 4 é divisível por3. (falso)

Para facilitar vamos analisar a tabela verdade abaixo:

p	q	pvq
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Conectivo da disjunção exclusiva: “ou..., ou” representado pelo símbolo (v).
Toda vez que as proposições estiverem unidas pela disjunção exclusiva “ou..., ou”, a frase será verdadeira quando uma, e somente uma das proposições for verdadeira.

Primeiro exemplo:
p: 3<5. (verdade)
q: 7+2 = 9. (verdade)
pvq: ou 3<5 ou 7+2 = 9. (falso)

Segundo exemplo:
p: √2 é um número inteiro. (falso)
q: 6 é divisível por 2. (verdadeiro)
pvq: ou √2 é um número inteiro ou 6 é divisível por 2. (verdadeiro)

Para facilitar vamos analisar a tabela verdade abaixo:

p	q	pvq
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Conectivo condicional: “Se... então” representado pelo símbolo (→).
Quando as proposições estiverem unidas pela condicional só existe uma maneira da frase se tornar falsa é quando a primeira proposição for verdade e a segunda for falsa.

Primeiro exemplo:
p: fazer sol.
q: irei à praia.
p→q: Se fizer sol, então irei à praia.

Para facilitar vamos analisar a tabela verdade abaixo:

p	q	p→q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Um exemplo bem claro e que as pessoas erram muito é o seguinte:

Se você for, eu vou.

As pessoas imaginam que eu só irei se você for o que é um erro, pois o que está dito é o seguinte:

Se você for eu prometo que vou, mas se você não for eu nada prometi.

Neste caso fica claro que só há uma maneira desse operador ser falso que é: você ir e eu não.
Confira mais uma vez na tabela verdade acima.

Existem outras formas de ler à condicional p→q, são elas:

"p é condição suficiente para q” ou, “q é condição necessária para p"

Exemplo:

"Se o pássaro canta então está vivo."

O pássaro cantar é condição suficiente para ele estar vivo.
Ou: O pássaro estar vivo é condição necessária para ele cantar.

Conectivo bicondicional: “Se e somente se” representado pelo símbolo (⟷).
Quando as proposições estiverem unidas pela bicondicional a frase só será verdadeira quando as duas proposições forem; ou ambas verdadeiras ou ambas falsas.

Primeiro exemplo:
p: √9 =3. (verdadeiro)
q: 7 é um número primo. (verdadeiro)
p⟷q: √9 =3 se e somente se 7 é um número primo. (verdadeiro)

Segundo exemplo:
p: todo gato voa. (falso)
q: Fernando Henrique Cardoso é o Presidente da França. (falso)
p⟷q: todo gato voa se e somente se Fernando Henrique Cardoso é o Presidente da França. (verdadeiro)

Para facilitar vamos analisar a tabela verdade abaixo:

p	q	p⟷q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Na bicondicional iguais da verdadeiro (VV=V ; F F= F) e diferentes da falso (VF=F ; FV=F)
Existem outras formas de ler a bicondicional p⟷q, são elas:
"p é condição necessária e suficiente para q" ou, "q é condição necessária e suficiente para p".

Abraço a todos, até a próxima e bons estudos.